Les postulats de la mécanique quantique
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Cet article présente en détail les postulats_de_la_mécanique_quantique
à partir de considérations mathématiques et géométriques simples et des analogies prises dans la vie quotidienne.
En physique on élabore des concepts reliés à des objets mathématiques pour établir
des théories qui permettent de représenter le monde physique à travers ses lois de fonctionnement.
La mécanique classique ou théorie de Newton est la théorie qui permet de représenter le
fonctionnement de la matière aux échelles sensibles à la perception humaine
que l'on nomme macroscopiques.
Aux échelles cosmologiques cette théorie est généralisée à travers les théories relativistes d'Einstein.
La relativité générale est la théorie qui traite le plus complètement la force de gravitation.
La mécanique quantique est la théorie qui permet de représenter le fonctionnement de la matière au niveau microscopique bien que la limite entre le microscopique et le macroscopique ne soit pas clairement définie en terme d'échelle de grandeur si bien que l'on peut avoir des comportements quantiques aux échelles macroscopiques comme dans le laser ou les cables_électriques_supraconducteurs
La théorie quantique ne traite pas d'une force de la nature en particulier comme la relativité générale,
elle est plus un langage. Le langage des objets quantiques. Ainsi on pourra appliquer ce langage
à diverses forces ou systèmes, on réalise ainsi leur quantification.
Le jeu des concepts quantiques s'articule autour de six postulats de base qui définissent complètement la théorie quantique.
Nous allons présenter ces six postulats et essayer d'en dégager leur signification
de manière simple.
L'expression du premier postulat tel qu'il est défini dans le livre "Mécanique Quantique Tome 1" de Cohen-Tanoudji est :
" A un instant t fixé, l'état d'un système physique est défini par la donnée
d'un ket ou fonction d'onde ou vecteur d'état noté |psy(t)> appartenant à l'espace des états".
La lettre grecque Psy est utilisée pour désigner la fonction d'onde, on utilise
aussi indifféremment la lettre Phy.
Le premier concept de la mécanique porte sur la représentation de l'état du système physique.
C'est une façon naturelle de définir l'objet de l'étude. Ici on dit simplement que le système existe
et que l'on peut représenter son état par une fonction qui dépend du temps
ceci parce que l'état du système n'est à priori pas statique mais dynamique.
En mécanique classique le système physique est représenté par le "point matériel".
Un système complexe sera représenté par un ensemble de points matériels reliés
entre eux pour former un objet solide ou non (liaisons rigides ou non, par exemple: cristal ou gaz).
Le premier postulat dit simplement que l'état du système à un instant donné est unique
et appartient à un ensemble d'états possibles regroupés dans un ensemble
mathématique nommé "espace des états".
On parle d'espace et non simplement d'ensemble car l'état quantique est un vecteur
qui est un objet mathématique qui représente une direction dans un espace.
Nous connaissons tous l'espace à trois dimensions (longueur, largeur, hauteur ou profondeur suivant l'orientation des deux premières dimensions)
Il s'agit de l'espace physique dans lequel nous vivons.
L'espace des états dans lequel "vivent" les systèmes quantiques n'est pas un espace physique, c'est un espace abstrait (espace de Hilbert)
et sa dimension est infinie pour représenter l'infinité des états possibles qui existent même pour des systèmes physiques simples.
Nous allons faire une analogie avec un exemple de la vie de tous les jours
pour comprendre comment est modélisé un système quantique.
Imaginons une personne tranquille dans son appartement et qui soudainement
réalise qu'elle doit sortir pour aller acheter du pain.
Elle se prépare à partir et dans son esprit elle hésite encore de l'endroit où elle va se rendre pour aller acheter du pain.
Elle a le choix entre une boulangerie plus haut dans sa rue ou une pâtisserie qui fait aussi
du pain et qui se trouve elle, plus bas dans sa rue.
En descendant l'escalier pour sortir on peut dire qu'il y a deux états possibles dans son esprit qui correspondent aux deux options pour acheter du pain. On peut noter ces options à la manière quantique:
état 1: |boulanger>
état 2: |pâtissier>
L'état d'esprit de la personne est une combinaison de ces deux possibilités:
| Etat> = |boulanger> + |pâtissier>
Les deux états sont complètement incompatibles: soit elle achète le pain chez le boulanger, soit chez le pâtisser. Ces deux possibilités n'ont absolument rien en commun, elles ne partagent rien. Géométriquement on dira qu'elles sont orthogonales (perpendiculaires) et la représentation géométrique dans l'espace (des états donc) sera:
On a donc deux directions bien distinctes qui n'ont rien en commun.
Si la flèche (vecteur) boulanger était penchée vers la flèche (vecteur) pâtissier
alors cela voudrait dire que le fait d'aller acheter chez
le boulanger est un peu lié avec le fait d'aller acheter
chez le pâtissier ce qui n'est pas le cas, ce sont deux
options incompatibles: orthogonales, c'est à dire à angle droit: elles ne partagent rien en terme de direction.
Par contre l'état du système, c'est à dire l'état d'esprit
de la personne est une combinaison dite linéaire des deux états.
On dit que l'on a un mélange d'état. L'état réel mélangé ne
correspond pas à quelque chose d'observable: on ne sait
pas ou le pain est acheté.
Cette combinaison linéaire des deux possibilités correspond
à la somme des deux vecteurs qui représentent les états observables.
La somme de deux vecteurs se réalise de la façon suivante : on fait
partir le deuxième vecteur de la fin du premier vecteur et le vecteur
somme résultant part du début du premier et se termine vers la fin
du second.
On a dit que l'espace des états était un espace vectoriel, c'est à dire un espace de directions, cela implique que dans la représentation géométrique on peut déplacer les vecteurs sans en changer la nature, ils restent les mêmes vecteurs: ils indiquent la même direction. Aussi pour simplifier la représentation on fait partir tous les vecteurs du même point pour indiquer que seules les directions existent dans cet espace. C'est ce qu'on appelle un espace vectoriel par opposition à un espace de points qui est appelé en mathématique un espace affine. ( L'écran sur lequel vous lisez ce texte est un exemple d'espace affine ou les pixels représentent les points de cet espace.)
La représentation géométrique, elle, se fait évidemment dans un espace de points car un espace vectoriel
est une abstraction pure et ne peut être représenté dans l'espace que nous percevons qu'avec des points (positions) différents.
Mais cela n'existe pas dans l'espace des états où toutes les représentations d'un vecteur se trouvant à différentes
positions dans l'espace de représentation correspondent à un vecteur unique dans l'espace vectoriel.
Ainsi on peut représenter l'état de la manière suivante :
Ici la dimension de l'espace des états est deux. Si il y avait une troisième option
avec un autre boulanger dans une rue adjacente | boulanger2 > alors l'espace des états serait de dimension trois, etc.
En physique on peut modéliser des systèmes à deux états de la même manière.
C'est le cas de la molécule d'hydrogène ionisée. La molécule d'hydrogène
est composée de deux noyaux d'hydrogène c'est à dire deux protons
et le fait qu'elle soit ionisée signifie qu'on lui a arraché un électron
sur les deux qu'elle possède naturellement. On prend cet exemple
parce qu'il est simple : "à un seul électron".
Les deux états de positions possibles pour l'électron sont :
La représentation géométrique est:
Il est clair que l'électron ne peut se trouver (ou plutôt se faire trouver c'est à dire : être observé) en même temps sur le noyau 1 et le noyau 2, ces états sont orthogonaux.
Dans l'expression du postulat on utilise des synonymes pour désigner le vecteur d'état que l'on appelle indifféremment
vecteur d'état, fonction d'onde ou ket. Ces différents noms correspondent à différents aspects mathématiques du vecteur d'état.
On verra l'aspect fonction d'onde dans l'explication du deuxième postulat et l'aspect "ket" dans le troisième.
En résumé, l'état quantique est représenté par la donnée d'un vecteur (direction) dans un espace vectoriel (de directions),
ce vecteur est nommé "vecteur d'état".
En mécanique classique, l'état est représenté par le "point matériel" qui est défini par ses propriétés physiques que sont la position et la vitesse.
On peut remarquer, et c'est important, qu'en mécanique quantique l'état du système est totalement indépendant
des propriétés physiques du système. L'état est défini de manière abstraite et on pourrait dire "non physique".
Ceci sera détaillé dans la présentation des postulats suivants à travers la notion de "base de représentation du vecteur d'état".
Mais on peut remarquer que le premier postulat ne fait dépendre le vecteur d'état que du temps et non de la position
qui est l'espace. Cela signifie que la fonction d'onde est non-locale.
Evidemment la relativité nous enseigne que le temps et l'espace forme un continuum et donc si une formulation de
la mécanique quantique prend en compte au moins la relativité restreinte, le vecteur d'état ne dépend pas non plus
du temps. Cette théorie est l'électrodynamique quantique ou théorie quantique du champ électromagnétique.
La relativité restreinte étant très liée à l'électromagnétisme par le fait qu'Einstein a produit cette théorie
pour lever les paradoxes que la théorie électromagnétique de Maxwell soulevait.
Les concepts quantiques n'ont pas été conçus par pure imagination. Ils ont plutôt été forgés au feu des expérimentations
de microphysique qui ont nécessité ces concepts pour pouvoir être représentées correctement.
Bien que totalement abstrait l'état quantique n'en est pas moins réel pour autant.
C'est d'ailleurs cette réalité de l'état quantique qui reste souvent la chose la plus difficile à admettre même si cela est incontournable.
Le fonctionnement de la matière qui est la chose la plus concrète, est gouverné par quelque chose de totalement abstrait.
Néanmoins il est impossible de contourner cette difficulté tant ce concept quantique est extraordinairement solide.
La situation cognitive est un peu similaire à la découverte des ondes électromagnétiques. Ces ondes ont été d'abord théoriquement
découvertes en combinant les équations de Maxwell qui décrivent les champs électriques et magnétiques.
Leur combinaison a fourni une équation de propagation d'onde avec une vitesse constante. C'était une notion abstraite
et nouvelle mais les expériences tentées ont montré qu'effectivement les champs électriques et magnétiques produisaient des ondes
que l'on pouvait contrôler et utiliser, ce qui a donné lieu à la communication par radio.
On a vu que cette vitesse était la vitesse mesurée de la lumière.
De la même façon le concept très abstrait de fonction d'onde est devenu très concret dans les expériences d'intrication_quantique et a donné lieu au domaine technologique de la cryptographie_quantique
"Toute grandeur physique observable 'a' est décrite par un opérateur 'A' agissant dans l'espace des états; cet opérateur est une observable."
En mécanique classique on a vu que se sont les propriétés du point matériel, sa vitesse et sa position qui détermine son état.
Par exemple la vitesse et la position d'une balle sur un cours de tennis ou bien d'une planète dans le système solaire.
La position et la vitesse d'un objet macroscopique sont déterminées à chaque instant et cela définit complètement l'état du système.
L'évolution de la balle de tennis dans l'espace définit à chaque instant l'état du jeu, si la balle est en mouvement, "out" ou non
ou bien immobile à terre après avoir pris le filet. Et c'est l'historique de ses états qui définit le match et son résultat.
Par contre en mécanique quantique l'état général d'un système réduit à une particule comme l'électron de l'exemple précédent
n'est plus associé à une position ou une vitesse particulière mais à un mélange de toutes les positions ou de toutes les vitesses possibles.
De plus on ne peut observer toutes les propriétés du système en même temps comme en mécanique classique.
Si le système est dans un état de position, c'est qu'il n'est pas dans un état d'énergie et vice-versa.
Dans l'exemple du pain on a des états de positions qui sont le boulanger et le pâtissier
qui indiquent l'endroit où le pain est acheté mais comme nous allons le voir,
ce ne sont pas des états d'énergie.
Tout comme dans l'exemple de la molécule d'hydrogène le fait que l'électron soit
localisé sur le noyau 1 ou sur le noyau 2 représente des états de position mais
ce ne sont pas en soi des états d'énergie de la molécule.
Dans un système quantique les différentes propriétés partagent le même espace d'états
mais les états correspondant à des propriétés différentes se sont pas forcément
représentés par les mêmes directions dans l'espace.
Cela veut dire que si l'espace est à deux dimensions alors il y aura deux états
de position possibles mais aussi deux états d'énergie possibles et que les états d'énergie
n'ont pas les mêmes directions que les états de position.
Dans le cas de la molécule d'hydrogène (ionisée) les états d'énergie possibles sont:
Dans le cas du pain on peut dire que les états d'énergie (état d'esprit possible de la personne) sont:
On pourrait dire que l'état d'énergie général est une oscillation entre les deux états d'énergie possibles que l'on pourrait appeler "hésitation".
Ceci illustre bien l'aspect ondulatoire des états qui ne sont pas statiques mais dynamiques.
Ici encore on peut exprimer mathématiquement l'état général du système par la combinaison des états particuliers:
| Etat:hésitation> = |détermination> + |renoncement>
dans la représentation "dynamique ou énergétique" du pain.
| Etat:énergie> = |état lié> + |état non-lié>
dans la représentation "dynamique ou énergétique" de la molécule d'hydrogène.
L'état général du système est complètement indépendant des propriétés de celui-ci ainsi on peut écrire pour le pain:
| Etat> = |détermination> + |renoncement> = |boulanger> + |pâtissier>
Pour la molécule d'hydrogène en appelant El (état lié) et Enl (état non-lié) les états d'énergie et P1 et P2 les états de position, on a:
| Etat> = | El > + | Enl > = | P1 > + | P2 >
Le fait que l'état soit indépendant de ses propriétés observables et peut s'exprimer indifféremment
de celles-ci est une caractéristique fondamentale de la mécanique quantique.
Les propriétés sont représentées par des opérateurs mathématiques qui en s'appliquant sur l'état quantique
déterminent les états possibles pour cette propriété.
Un opérateur en mathématiques est ce qui fait évoluer une valeur au sens large.
Par exemple pour l'addition l'opérateur "3+" appliqué à "2" donne "3+2"="5" on a fait passer la valeur de "2" à "5" par l'application de l'opérateur "3+" (ajout de la valeur trois)
En mécanique quantique l'opérateur fait évoluer l'état. Le postulat dit que l'opérateur "agit" sur l'espace des états.
Soit P l'opérateur position et E l'opérateur Energie (en réalité l'opérateur énergie est noté H pour hamiltonien qui est la fonction énergie totale définie de manière générale en mécanique par Hamilton par la somme de toutes les énergies agissant sur le système).
D'après le deuxième postulat ces opérateurs représentent les propriétés correspondantes (position et énergie) du système.
En appliquant (faisant agir) l'opérateur position sur l'état de la molécule d'hydrogène on aura:
P | état > = | P1 >
ou
P | état > = | P2 >.
Appliquer l'opérateur sur l'état revient à observer la propriété correspondant à l'opérateur, ici la position.
De la même manière avec l'opérateur énergie.
H | état > = | El > ou H | état > = | Enl >.
On s'aperçoit ainsi que lorsqu'on applique un opérateur à un état on fait évoluer cet état vers un état
appartenant à cet opérateur particulier, on appelle cet état "état propre" de l'opérateur.
Le résultat peut être n'importe quel état possible pour le système et pour l'opérateur (la propriété mesurée).
L'état "molécule liée" est un état propre de l'opérateur énergie tandis que l'état "électron sur le noyau 1"
est un état propre de l'opérateur position.
Pour la molécule d'hydrogène lorsqu'on se trouve dans l'état lié, l'électron se trouve dans un état de position indéterminé entre les deux noyaux d'hydrogène. On peut dire que l'état propre d'énergie est une combinaison linéaire d'états de position ce qui peut se représenter ainsi:
| El > = | P1 > + | P2 >
On peut dire que les deux états de position s'ajoutent pour former un état d'énergie: lorsque l'électron
est partagé par les deux noyaux, la molécule est liée, on dit que les deux états de position
interfèrent constructivement pour former l'état d'énergie "lié".
de la même manière l'état non-lié sera représenté par
| Enl > = | P1 >- | P2 >
on dit que les deux états de position interfèrent destructivement pour créer l'état d'énergie "non-lié".
Si l'on reprend l'analogie du pain, l'état d'esprit de la personne est une hésitation entre le fait d'aller acheter du pain chez le boulanger ou le pâtissier mais aussi entre le fait d'aller acheter du pain ou de ne pas en acheter.
On peut dire que la détermination d'aller acheter du pain est une interférence constructrice de toutes
les possibilités pour aller acheter du pain tandis que le renoncement est une interférence destructrice
de ces mêmes états possibles.
On considère toutes les possibilités pouvant arriver
au système et qui se trouvent toutes incluses dans l'espace des états.
Géométriquement on peut représenter cela de la façon suivante:
On remarque que les états d'énergie observables (états de la molécule lié ou non lié)
sont aussi orthogonaux car ils correspondent à des options possibles pour l'énergie mais
incompatibles entre elles.
L'état du système (vecteur d'état) est lui-même indépendant de sa représentation dans l'espace des états
soit par rapport à l'énergie soit par rapport à la position.
On dit que les états propres liés à un opérateur sont une base de représentation du vecteur d'état (ici base bleue ou noire)
Ainsi on a pour le vecteur d'état une base de représentation pour l'opérateur position et une base de représentation
différente pour l'opérateur énergie.
1.2.1.Non commutativité des opérateurs quantiques: :20231119
1.2.2.Principe d'incertitude de Heisenberg
Le principe_d_incertitude_de_Heisenberg découle directement des postulats de la mécanique quantique.
On a vu qu'en général les états propres de deux observables ne sont pas représentés par les mêmes vecteurs et qu'un état d'énergie par exemple
sera représenté par une combinaison linéaire (superposition) d'états de position s'ils ne commutent pas.
On comprend bien dans ce cas qu'il est impossible d'observer au cours d'une même mesure d'un système, à la fois la propriété de position
et la propriété d'énergie puisque leurs états propres sont incompatibles. C'est à dire que les opérateurs ne commutent pas.
En pratique dans une expérience quantique, un grand nombre de particules sont observées, ce qui donne un résultat statistique global
dans lequel il apparaît que plus on a de précision sur la valeur de l'énergie moins on a de précision sur la position et vice-versa.
1.2.3.Représentation de la fonction d'onde dans l'espace physique
La différence entre le vecteur d'état et la fonction d'onde est le fait que le vecteur d'état
est indépendant de l'espace physique tandis que la fonction d'onde elle ne l'est pas parce qu'elle
se propage dans celui-ci.
En mécanique quantique on dit que la fonction d'onde est une projection du vecteur d'état dans l'espace physique.
Dans l'image ci-dessous on a représenté l'aspect ondulatoire (fonction d'onde) des états quantiques
afin de visualiser comment l'onde interfère destructrivement ou constructivement par addition ou soustraction.
Le fonctionnement fondamental d'une onde est le même qu'il s'agisse d'une onde quantique, d'une onde
électromagnétique ou par exemple d'une onde à la surface d'un plan d'eau (vaguelettes).
Une onde présente toujours une oscillation en creux et sommet (de la vague) autour d'une valeur moyenne (la surface plane de l'eau).
Les plus s'ajoutent entre eux (ainsi que les moins) et les plus et les moins se soustraient et s'annulent.
Par exemple si un creux de vague rencontre un sommet d'une autre vague, les deux s'annulent pour laisser
la surface de l'eau plane à l'endroit de la superposition.
1.2.3.1.états molécule hydrogène
Les états ondulatoires d'un atome ou d'une molécule correspondent à des ondes stationnaires
qui sont des ondes qui ne se propagent pas mais restent principalement localisées dans une région limitée
de l'espace, ici autour des noyaux d'hydrogène.
Le deuxième postulat introduit donc les opérateurs qui s'appliquent sur les états pour les transformer.
On peut donc dire que le vecteur d'état représente l'aspect statique de la réalité quantique,
tandis que l'opérateur représente l'aspect dynamique de cette même réalité.
Les troisième, quatrième et cinquième postulats décrivent le processus même de l'observation d'un système quantique.
Mesure : valeurs possibles d'une observable
"La mesure d'une grandeur physique A ne peut donner qu'une valeur propre de l'observable A correspondante parmi toutes celles possibles."
Nous avons vu que les états observables d'une propriété d'un système quantique
étaient nommés "états propres" (de cet observable).
A chaque "état propre" est associé une "valeur propre" qui est le résultat de la mesure.
Par exemple pour la molécule d'hydrogène ce sera le niveau d'énergie de la molécule
qui est différent si la molécule est dans son état lié ou non-lié.
Dans l'analogie du pain, on peut imaginer que le résultat est le changement
du montant contenu dans le porte monnaie qui a diminué lors de l'achat du pain.
La valeur propre est un nombre tandis que l'état propre est, comme nous l'avons vu, un vecteur.
Jusqu'à présent nous n'avons utilisé du vecteur que sa direction qui est aussi associée à une dimension de l'espace des états
car c'est la notion la plus importante concernant l'état quantique.
En mathématiques la valeur naturelle associée à un vecteur est sa longueur.
Cette longueur est abstraite (ce n'est pas l'espace physique donc on ne la mesure pas en mètres).
Pour cette raison on a crée un terme plus général se rapportant à la longueur ou l'échelle d'où le non de "valeur scalaire".
Le scalaire est donc la valeur numérique associée à la longueur d'un vecteur.
Si on multiplie la longueur d'un vecteur par un nombre on obtiendra un vecteur dont la longueur sera un multiple de la valeur initiale,
il sera à une autre échelle de grandeur, sa nouvelle valeur "scalaire".
Ici nous sommes donc en train d'observer l'énergie du système en utilisant donc l'opérateur énergie.
On a vu que dans ce cas l'application de l'opérateur énergie sur l'état donnait les deux états possibles d'énergie simultanément:
H appliqué sur l' | état > donnera soit l'état | El > (pour lié) associé à l'énergie El soit l'état | Enl > (pour non lié) associé à l'énergie Enl
(les énergies sont les valeurs propres de l'opérateur énergie).
L'opérateur logique "ou" (ou non exclusif) est représenté en mécanique quantique dans l'espace des états par l'addition des vecteurs notée "+". On a donc:
H | état > = El | El > + Enl | Enl >
L'état global est une superposition des états propres possibles où El et Enl représentent comme on l'a vu respectivement les valeurs de l'énergie des deux états.
Pour représenter le fait qu'une seule valeur est possible lors d'une mesure on utilise une propriété des vecteurs que l'on appelle la projection.
Ci-dessous l'image de la projection de l'état global |Psy> sur l'état d'énergie "molécule liée" | El >
Lorsqu'on va effectuer la mesure de la propriété physique sur le système, le postulat dit que la mesure donne une valeur unique
et que cette valeur correspond à un état particulier du système dit "état propre", la valeur obtenue étant nommée "valeur propre".
Dans l'équation précédente on ajoute des possibilités et non des valeurs, ainsi on n'a pas E = El + Enl, l'ajout de vecteur ne fonctionne pas comme l'ajout de valeur (scalaire).
On verra plus tard que l'ajout de possibilités conduira non pas à la somme des énergies mais à la valeur moyenne de l'énergie qui est la somme des valeurs (ici El+Enl) divisée par le nombre
de valeurs ajoutées (ici 2). La valeur moyenne de l'énergie serait donc E = (El+Enl)/2. En réalité c'est un peu plus subtil que cela parce que la valeur moyenne de l'énergie dépend
aussi de la probabilité d'existence de chaque état d'énergie, c'est donc une valeur moyenne pondérée par la probabilité de chaque état.
C'est précisément le sujet du quatrième postulat.
Postulat de Born : interprétation probabiliste de la fonction d'onde
"Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état "phi"
normé, la probabilité P (An) d'obtenir la valeur propre An de l'observable A
correspondante est |Cn|². Où Cn est l'amplitude de la fonction d'onde projetée sur
l'état propre |phi n> correspondant à la valeur propre An observée.
Jusqu'à présent nous avons seulement parlé des états, des états propres observables et de leurs valeurs propres associées.
Par convention la longueur d'un vecteur d'état quel qu'il soit vaut 1, la raison en est que le vecteur d'état véhicule l'existence du système (premier postulat)
et qu'en terme de probabilité, l'affirmation de l'existence du système correspond à une certitude.
En probabilité la certitude à la valeur 1.
Lorsque l'on a 1 chance sur 1 de quoi que se soit (1 divisé par 1 égale 1) on est dans la certitude.
Une probabilité inférieure à 1 est moins certaine que la certitude totale.
Par exemple, la chance de gagner au loto en ne jouant qu'une grille est de 1 divisé par quelques millions.
Ce qui fait que finalement un seul ou presque gagnera les millions au tirage !
Le tirage en terme quantique est "l'observation du gagnant".
L'amplitude de la fonction d'onde est la même chose que la longueur du vecteur d'état.
Nous avons vu qu'un scalaire est une valeur numérique simple.
_
Cette désignation apparaît aussi par comparaison à des valeurs numériques
plus complexes composées de plusieurs nombres comme le vecteur qui lorsqu'on veut le représenter numériquement nécessite l'utilisation de plusieurs nombres.
(si on suit cette ligne de développement on arrive au concept de "tenseur" très utilisé en physique, tenseur d'élasticité, de courbure de l'espace-temps...).
_
Lorsque l'on projette un vecteur sur un autre la longueur portée du premier sur le deuxième est un nombre.
On a donc réalisé ainsi une opération qui à deux vecteurs associe un nombre que l'on appelle scalaire pour indiquer
que le résultat particulier de cette opération de deux vecteurs ne donne pas un troisième vecteur comme dans
l'addition des vecteurs mais un nombre (scalaire).
On appelle cette opération le produit scalaire:
Le produit scalaire est une opération qui à partir de deux vecteurs donne un nombre. Ce nombre est la longueur projetée orthogonalement d'un des vecteurs sur l'autre.
Le mot anglais "bracket" qui signifie crochet et qui fait référence aux caractères "<" et ">" Ces crochets sont utilisés traditionnellement en mathématiques pour représenter la valeur moyenne d'une grandeur.
La valeur moyenne de l'énergie sera notée par exemple < E >.
On a vu que l'état quantique était appelé aussi "ket" noté | ket >
l'autre partie du crochet est le "bra" qui est un opérateur particulier noté < bra |
C'est le physicien Paul_Dirac qui est à l'origine de cette séparation en deux
de ce mot pour faire apparaître une dynamique d'opérateur et de vecteur dans l'opération de prise de la valeur moyenne.
Si on applique le "bra" sur le "ket" on obtient < bra | ket > ce qui est le nombre qui résulte de l'application
de l'opérateur
On a ici une relation duale entre le bra et le ket.
Pour un état (ou ket) "| Psy >" le bra sera "< Psy |" la dualité entre les deux est représentée comme l'image dans un miroir
Le ket est un vecteur tandis que le bra est un opérateur, l'application du bra sur le ket donne un nombre.
D'une manière générale dans une expression ce qui est à droite du ket est un opérateur, le résultat d'un opérateur
sur un état (vecteur) est soit un autre état (vecteur) soit un nombre qui représente un résultat de mesure ou une probabilité.
Pour tout ket il existe un bra correspondant et l'opération qui permet de passer du ket au bra s'appelle la conjugaison hermitique
et est notée par une étoile. Ainsi ( | Psy > ) * = < Psy | ou (
ou |bra> = (ket>)*
Le bra est donc l'aspect dynamique (opérateur) du ket (état) qui produit la manifestation ( le résultat de mesure ).
Ceci peut être analogiquement rapproché d'un aphorisme védique faisant parler le créateur de l'univers:
"me retournant sur moi-même, je crée encore et encore".
On peut aussi voir la même forme dans le premier récit de la création de la Genèse:
que la lumière soit et la lumière fût et D.ieu VIT que la lumière était bonne.
< que la lumière soit | et la lumière fût > = et D.ieu VIT que la lumière était bonne.
< soit | lumière² | fût > = D.ieu VIT que la lumière était bonne.
Le fait que D.ieu vit que la lumière était bonne est clairement le résultat d'une observation.
On pourrait appeler tout cela l'alphabet et la syntaxe quantique.
L'alphabet ne se compose que d'une lettre | Psy > et c'est "l'être" (ou l'état qui est l'affirmation de l'être)
L'opération duale * fait apparaître sa valeur dynamique d'opérateur ( | Psy > )* = < Psy |
Toutes leurs combinaisons font apparaître la grammaire quantique.
Un exemple est l'application de l'opérateur < Psy | sur l'état | Psy > donne < Psy|Psy > qui est aussi la projection
de l'état |Psy> sur lui-même et qui vaut donc 1. Ce qui peut se traduire de manière triviale par la phrase:
"Psy participe à 100% (100/100=1) à Psy".
< Psy L | Psy > est quand à lui la projection de l'état général du système sur l'état énergétique lié de l'exemple de la molécule H2+
et représente l'amplitude de probabilité d'obtenir l'état lié lors d'une observation.
Al = < Psy L | Psy >
En prenant le carré de l'amplitude on obtient la probabilité
La probabilité de l'état | Psy L > est: Pl = Al² = ( < Psy L | Psy > )²
L'image ci-dessous représente la projection de l'état général | Psy > sur les deux états d'énergie | Psy l > et | Psy nl >
(qui sont la même chose que les états | El > et | Enl > c'est juste une différence de notation)
Les deux valeurs < Psy l | Psy > et < Psy nl | Psy > représentent la longueur de l'état | Psy > (qui vaut 1) projeté sur les états propres | Psy l > et | Psy nl >
< Psy l | Psy > est la projection de l'état | Psy > sur l'état propre | Psy l >
< Psy nl | Psy > est la projection de l'état | Psy > sur l'état propre | Psy nl >
Lorsque nous avons considéré les états "acheter du pain" |boulanger> et |pâtissier>
nous avons implicitement considéré que nous pouvions observer l'un et l'autre
de manière indifférente, c'est à dire ayant une probabilité d'advenir égale.
Mais les caractéristiques du système peuvent être telles que ce n'est pas le cas,
par exemple si le boulanger est plus proche du domicile que le pâtissier et qu'il
fait très froid la probabilité de l'état |boulanger> sera plus forte que celle
de l'état |pâtissier>.
C'est ce qui est représenté dans l'image ci-dessous où Ab est supérieur à Ap. (A est l'amplitude de probabilité).
La projection de l'état |Phi> général sur l'état |boulanger> a la valeur Ab
qui correspond à l'amplitude de probabilité d'obtenir cet état à partir de
l'état général |Phi> de la même façon pour Ap qui est l'amplitude de probabilité
d'obtention de l'état |pâtissier>.
Les états propres quantiques sont toujours orthogonaux c'est à dire qu'ils sont
à angle droit et donc suivent la théorème de Pythagore
pour le triangle rectangle.
"La somme du carré des longueurs des deux côtés est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse"
Dans notre cas l'hypoténuse correspond au vecteur d'état |phi> et les deux côtés aux projections
de |phi> sur les deux états propres |boulanger> et | Epicier>.
Le postulat dit que le carré de l'amplitude de l'onde est la probabilité.
Le fait de considérer l'état général du système revient à simplement considérer qu'il existe:
la probabilité de l'état effectif du système est donc toujours égal à 1.
C'est ce que le postulat mentionne en disant que l'état |phi> est normé et sa norme est toujours
égale à 1 par convention puisqu'il s'agit d'une probabilité.
Mathématiquement on note < phi | phi > = 1 = | |phi> | ²
(la dernière expression représente le carré de la norme du vecteur, la norme du vecteur étant sa longueur)
Ensuite cette probabilité se divise en plusieurs probabilités inférieures correspondant à chaque
état propre mais avec la contrainte que la somme des carrés des amplitudes des états propres
du système est toujours égale à 1 qui est la probabilité certaine.
Ab²+ Ap² = 1
La somme des probabilités de tous les états possibles du système doit être égale à 1.
On peut dire que l'existence du système se répartit sur toutes ses possibilités d'exister
mais sans qu'il y ait de perte d'existence afin que son existence soit conservée.
En effet si la probabilité totale diminuait cela voudrait dire que le système aurait
moins de chance d'exister et en réduisant la probabilité de son existence à zéro,
celui-ci disparaîtrait !
L'amplitude de l'état ou fonction d'onde peut-être positive ou négative exactement comme
on peut avoir la crête ou le creux d'une vague.
L'amplitude de probabilité est donc soit négative soit positive, c'est ce que nous avons
représenté dans l'image sur les états liés et non-liés de la molécule d'hydrogène
par les symboles plus + et moins - . (états molécule hydrogène)
Mais la probabilité qui est le carré de l'amplitude (ou carré de la norme )
est donc toujours positive ce qui est normal pour une probabilité.
En effet on peut imaginer une probabilité certaine, puis moins certaine
jusqu'à peu certaine voire nulle mais une probabilité négative n'a pas de sens.
Par contre l'amplitude de probabilité elle, peut être négative.
Supposons alors que l'on ait deux amplitudes de probabilité égales
mais de signes opposés se propageant l'une vers l'autre (ce sont des ondes).
Si l'on considère les probabilités lorsque ces amplitudes se trouvent
au même endroit alors les amplitudes de signes opposés s'annulent
et leur carré est aussi nul. La probabilité d'observer quelque chose
sera nulle.
Mais si les amplitudes sont séparées leur carré sera positif
(plus par plus est positif mais moins par moins est aussi positif)
et donc la probabilité d'observer quelque chose ne sera plus nulle.
Lorsqu'on parle de mécanique quantique on pense à son caractère probabiliste comme un jeu de hasard
mais ce que l'on ignore généralement c'est que ces probabilités sont sous-tendues par quelque chose
de beaucoup plus troublant qui est l'amplitude de l'onde de probabilité et qui donne
toute sa réalité à la mécanique quantique.
Si on considère l'expression | Psy L >< Psy L | composée d'un ket puis d'un bra et qu'on l'applique au ket | Psy > on obtient
| Psy L >< Psy L | Psy > où < Psy L | Psy > est l'amplitude de probabilité d'obtenir l'état | Psy L >
on a donc :
| Psy L >< Psy L | Psy > = | Psy L > Al = Al | Psy L >
on voit que l'état final est l'état | Psy L > associé à la probabilité Al
L'expression | Psy L >< Psy L | est donc un opérateur qui a fait évoluer l'état initial | Psy > vers l'état final | Psy L >
et ceci avec une probabilité Al.
C'est un opérateur d'évolution qui a fait évoluer le système vers l'état d'énergie lié lors d'une observation.
Ceci nous amène naturellement vers le cinquième postulat qui décrit comment le système évolue lors d'une mesure.
1.3.2.Opérateur partition de l'unité
Considérons l'opérateur suivant:
| Psy L >< Psy L | + | Psy nl >< Psy nl |
qui est la somme des opérateurs d'évolution vers les états propres d'une observable (ici l'énergie : état lié et non-lié).
( | Psy L >< Psy L | + | Psy nl >< Psy nl | ) | Psy >
ou
| Psy L >< Psy L | Psy > + | Psy nl >< Psy nl | Psy >
ce qui donne
| Psy L > Al + | Psy nl > Anl
ou encore
Al | Psy L > + Anl | Psy nl >
ce qui est la décomposition de l'état | Psy > en somme de ses états propres d'énergie
| Psy > = Al | Psy L > + Anl | Psy nl >
L'opérateur n'a pas changé l'état | Psy > mais l'a simplement décomposé en ces différentes parties,
pour cette raison on l'appelle opérateur "partition de l'unité".
Il est intéressant de constater comment la représentation vectorielle de l'état et sa décomposition
suivant une base orthogonale permet de représenter naturellement les amplitudes de probabilités et par lÃ
les probabilités de l'évolution du système lors d'une mesure.
Mesure : réduction du paquet d'onde
Si la mesure de la grandeur physique A, à l'instant t, sur un système représenté par le vecteur |phi> donne comme résultat la valeur propre
An alors l'état du système immédiatement après la mesure est projeté sur le sous-espace propre associé à An
Ce postulat est aussi appelé "postulat de réduction du paquet d'onde".
Tout d'abord élucidons cette notion de "sous-espace propre". Il s'agit juste d'une généralisation de la décomposition de l'état
dans ses états propres. Reprenons l'exemple du pain avec deux boulangers et un pâtissier.
Si la distinction du type de commerce n'est pas observable (n'est pas une observable du système), il n'y aura pas lieu de distinguer
si il s'agit du boulanger 1 ou du boulanger 2 lors d'une mesure, on se contentera de savoir que l'état a été projeté vers le sous-espace
propre boulanger qui correspond en fait, dans le schéma ci-dessous, au plan horizontal peuplé par les boulangers !
Si il existait une observable qui permette d'observer chez quel boulanger le pain a été acheté, lors de cette
mesure l'état serait projeté vers l'un ou l'autre des boulangers, levant l'indétermination lors de la mesure.
En pratique lorsque plusieurs états propres ont la même valeur propre (même énergie) ont dit que
ces états sont dégénérés. En appliquant au système une contrainte d'énergie supplémentaire qui va modifier
l'énergie des états dégénérés de façon qu'il n'y ait plus d'égalité on lèvera la dégénérescence.
La physique quantique s'occupe essentiellement de comprendre la structure du monde microscopique
qui est essentiellement constitué de résonances (ondes stationnaires) qui sont des états propres de l'opérateur énergie totale
du système (Hamiltonien).
Le cinquième postulat dit que lors de la mesure, l'état du système évolue vers l'état dont la valeur propre a été mesurée.
C'est ce postulat dit de "réduction du paquet d'onde" ou de "collapse de la fonction d'onde" qui donne à la représentation
géométrique de projection d'un vecteur sa réalité physique, puisque le système évolue physiquement dans cette opération.
C'est probablement la plus grande révolution conceptuelle de la mécanique quantique d'introduire le fait que l'observation du système le fait évoluer
alors que dans les théories physiques non-quantiques c'est seulement l'équation dynamique qui est responsable de l'évolution du système.
Traditionnellement l'équation dynamique d'une théorie mécanique exprime comment l'énergie agit sur le système pour le transformer.
Dans le cas de la mécanique quantique une telle équation dynamique existe aussi et elle s'appelle l'équation de Shroedinger .
On a donc en mécanique deux mécanismes pour l'évolution: l'action de l'énergie dans le temps et l'action de l'observation hors du temps.
C'est cette équation qui constitue le sixième et dernier postulat de la mécanique quantique (voir ci-après).
Le cinquième postulat quant à lui implique l'observateur du système dans l'évolution du système.
Ainsi en mécanique quantique l'observateur n'est plus indépendant du système physique.
L'observateur et le système physique forment un ensemble indissociable.
On pourrait dire que l'observateur est intriqué dans le système (mais pas au sens de l'intrication quantique qui ne concerne que la fonction d'onde).
On a évoqué plus haut le phénomène de l'intrication quantique qui provient du fait qu'un système quantique formé de plusieurs
particules est décrit par une fonction d'onde unique (premier postulat) même si les particules sont susceptibles de s'être éloignées dans l'espace physique.
C'est cette implication de la mécanique quantique qu'Einstein n'a officiellement jamais pu admettre parce qu'à son sens elle violait
la limite de propagation de toute interaction physique définie par la vitesse de la lumière. Selon la théorie de la relativité d'Einstein
aucune énergie ne peut se déplacer plus vite que la vitesse de la lumière. La lumière se déplace évidemment à la vitesse de la lumière
et elle ne peut faire cela que parce qu'elle est une énergie pure, c'est à dire sans masse. Les particules massiques doivent donc forcément
se déplacer à une vitesse inférieure à celle de la lumière.
La résolution "physique" de ce paradoxe quantique a été effectué par une expérimentation connue sous le nom d'expérience_d_Aspect.
On dit que la théorie quantique est une théorie non-locale. Les termes utilisés "non-localité" ou "non-séparabilité" sont équivalents.
On peut donc dire que la fonction d'onde quantique transcende l'espace physique, elle transcende même l'espace-temps puisque
depuis la théorie de la relativité d'Einstein on doit considérer l'espace et le temps comme étant les aspects d'une
même réalité plus profonde : le continuum espace-temps. Une expérience plus récente effectuée dans un cadre relativiste et
menée dans la continuité de l'expérience d'Aspect a confirmé la validité de l'intrication quantique dans le cadre relativiste.
( cf Expérience_d_Antoine_Suarez trouvée sur le site du physicien
Philippe_Guillemant qui offre une vision intégrant la réalité quantique )
Cette dernière expérience est importante car dans une expérience de physique on ne peut mesurer que des valeurs dans un certain
intervalle. Ainsi dans la première expérience d'Aspect les détecteurs des photons corrélés (dans un état quantique unique)
n'étaient séparés que de quelques mètres. Cela était suffisant pour démontrer que l'intrication quantique ne pouvait pas
être due à un phénomène physique ignoré (variable cachée) s'effectuant à une vitesse infra luminique. La vitesse d'un tel
phénomène serait forcement supraluminique. Bien qu'une telle vitesse supraluminique soit difficilement acceptable à cause
de la théorie de la relativité d'Einstein, la première expérience d'Aspect ne permettait pas de révoquer complètement
cette possibilité. Avec l'expérience d'Antoine Suarez c'est chose faite parce que c'est même la possibilité d'une causalité
entre les détections des deux photons corrélés qui est supprimée, parce que les référentiels relativistes dans lesquels sont
faites les détections, ne permettent pas un "avant" et "après", condition essentielle pour une causalité: aucun des deux photons
n'est détecté avant ou après l'autre car ces détections ne sont pas faites dans les mêmes référentiels temporels.
Dans une théorie quantique relativiste la fonction d'onde ne peut donc plus dépendre du temps comme on l'a vu dans le premier
postulat. La raison en est que le temps est ramené au même niveau que la position c'est à dire une propriété observable du système,
et que la fonction d'onde est indépendante des propriétés du système (deuxième postulat).
L_expérience_du_chat_de_Shroedinger est une expérience de pensée
imaginée par le physicien Erwin_Shroedinger pour réfléchir
sur le problème de la mesure en mécanique quantique directement lié avec le cinquième postulat.
Vous avez pu constater dans les postulats consacrés à la mesure (ou observation) que l'on ne rentre pas en détail de ce qu'est l'observateur.
Les postulats disent qu'il y a bien un observateur qui fait la mesure mais ne disent rien de plus sur la nature de l'observateur !
Dans cette expérience, un chat est isolé dans un caisson de façon à ce qu'on ne puisse l'observer (quantiquement) d'aucune manière.
Cela suppose que le chat peut être considéré comme un objet quantique, ce qui n'est pas le cas en pratique bien qu'en théorie
le chat puisse être considéré à priori comme un système physique, étant composé d'atomes qui eux le sont et sont bien décrits
par la mécanique quantique.
Dans ce caisson se trouve aussi une fiole contenant un gaz mortel pour le chat et un détecteur de particules qui ouvre la
fiole en cas de détection d'une particule.
Si une particule est détectée le chat sera mort, si elle n'est pas détectée le chat sera vivant.
Tant que l'on n'a pas observé l'état de santé du chat "quantique" celui-ci reste dans un état quantique général dit de superposition
des états propres observables, que sont | chat vivant > et | chat mort >
on a donc | chat > = | chat vivant > + | chat mort >
Notre système quantique est formé de plusieurs composantes: le chat, le détecteur, la particule.
Tout ces sous-systèmes doivent aussi être considérés dans l'établissement de la fonction d'onde, on a donc:
| particule > = | particule présente > + | particule absente >
et
| détecteur > = | état particule détectée > + | état particule non-détectée >
Les mathématiques associées à la mécanique quantique montrent que le système global que l'on appellera "shroedinger" est :
| shroedinger > = | chat, détecteur, particule > = | chat> ¤ | détecteur > ¤ | particule >
où ¤ représente le "produit tensoriel" des vecteurs d'état.
Se retrouvant au sein d'un même état quantique, on dit que ces différents sous-systèmes sont intriqués.
Ce produit se comporte comme une opération de produit habituel, il est distributif : A * ( B + C ) = A*B + A*C
En terme quantique on peut donc développer l'état quantique général. Commençons seulement par le système composé uniquement du détecteur
et de la particule.
| détecteur, particule > = | détecteur > ¤ | particule > = ( | état particule détectée > + | état particule non-détectée > ) ¤ ( | particule présente > + | particule absente > )
en développant :
Les deux premiers états sont facilement compréhensibles, si la particule est présente il est logique qu'elle soit détectée et qu'elle ne le soit pas si elle est absente.
Les deux états suivants sont très improbables mais existent néanmoins d'après la mécanique quantique pour laquelle tout n'est qu'amplitude de probabilité.
Pour l'état | shroedinger > complet il faudrait encore développer avec les états du chat ce qui nous amènerait à une fonction d'onde comportant huit états propres possibles
dont deux fort probables et six fortement improbables.
Les deux états probables sont:
| chat mort > ¤ | état particule détectée > ¤ | particule présente >
| chat vivant > ¤ | état particule non-détectée > ¤ | particule absente >
Tant que l'on n'a pas observé le système, ce qui correspond par exemple à ouvrir la boite, on est dans un état de superposition
où le chat est dans un état vital indéterminé. C'est là que se trouve le paradoxe.
Mais on peut pousser le raisonnement plus loin et c'est ce qu'à fait le physicien Eugène_Wigner prix Nobel de physique.
Il s'agit de la théorie_de_l_influence_de_la_conscience
Il a considéré que l'oeil de l'observateur qui voit le chat mort ou vivant est aussi un système quantique avec deux états:
| oeil > = | oeil voit le chat mort > + | oeil voit le chat vivant >
Les états de la fonction d'onde complète prendraient alors en compte des états "hallucinatoires" où l'oeil verrait mort, le chat vivant...
Mais on pourrait ainsi continuer à considérer la chaîne de la mesure jusqu'au cerveau de l'observateur qui est également composé d'atomes.
Donc la question est : à quel moment se réalise effectivement la mesure c'est à dire le collapse de la fonction d'onde et donc le choix
du résultat de l'expérience: chat mort ou vivant.
Wigner dit que rien de matériel ne peut provoquer le collapse parce que toute la matérialité est susceptible d'être décrite par la
mécanique quantique et donc fait partie de la fonction d'onde et on peut également très bien considérer la fonction d'onde de l'univers.
Dans son interprétation L'observateur est la conscience .
On peut remarquer le lien qui existe entre l'observateur et la fonction d'onde: aucun des deux n'est matériel !
On pourrait dire que ce qui est matériel est ce qui se trouve entre les deux: l'observation.
Ceci nous rapproche de la conception de la "réalité indépendante" ou du "réel voilé" introduit par le physicien
Bernard_d_Espagnat pour la compréhension philosophique de la mécanique quantique.
Ceci nous rapproche également de la conception védique, dans l'Inde ancienne, de la réalité matérielle décrite comme "Maya" ou l'illusion des sens.
L'observateur conscience et la réalité quantique non-matérielle crée la réalité matérielle phénoménologique.
A ce titre le film Matrix représente bien une allégorie de la réalité, la seule différence, et elle est importante,
vient du fait que ce ne sont pas des machines qui créent la réalité illusoire mais la conscience elle-même.
Ainsi on peut définir la conscience comme étant la mise en relation du sujet avec l'objet par la perception ou connaissance.
La fonction d'onde et la conscience représentent les deux faces d'une même réalité transcendant la matérialité et
à l'origine même de cette matérialité.
évidemment les physiciens dans leur ensemble ne vont généralement pas aussi loin dans la vision de la réalité quantique.
La position standard dans ce domaine est l'interprétation_de_l_école_de_Copenhague.
Cette position émerge de la situation de l'observateur humain qui expérimente un monde classique et le considère comme la référence absolue.
On peut définir différents degrés d'éloignement de cette position:
Il faut remarquer que ce point de vue n'est plus tenable scientifiquement depuis l'expérience d'Aspect qui valide la mécanique
quantique dans ses affirmations les plus troublantes.
En même temps cette mécanique quantique est la théorie la plus vérifiée de l'histoire des sciences.
Ce point de vue est donc ainsi ramené à une simple "croyance matérialiste".
Ce point de vue était néanmoins celui d'Einstein mais il n'a malheureusement pas vécu suffisamment longtemps pour
voir la résolution par l'expérience d'Aspect, du paradoxe qu'il a définit avec les physiciens Podolsky et Rosen dans son fameux article:
le Paradoxe_EPR.
Ici le monde classique dans lequel nous vivons ne représente plus la totalité du monde car il existe
un monde quantique absolument étrange auquel nous n'avons pas accès mais avec qui nous pouvons traiter par
l'intermédiaire de la théorie quantique.
Le monde physique stable que nous connaissons est constitué uniquement de trois particules quantiques: électron, proton et neutrino.
Ce troisième point de vue lève tous les paradoxes quantiques en disant finalement et simplement qu'il ne faut
pas chercher une interprétation (classique) de la théorie quantique mais qu'il faut simplement l'accepter
telle qu'elle est (Copenhague) et finalement reconnaître la suprématie de sa position.
On peut ainsi prédire que le modèle quantique ne sera jamais mis en défaut. Depuis sa création on voit de plus en plus à quel point la réalité quantique
intervient dans la compréhension du monde qui nous entoure et plus particulièrement dans le domaine du vivant, système macroscopique d'une grande cohérence... quantique.
Voici deux exemples assez récents:
Le problème central ou pivot entre la réalité quantique et la réalité classique est celui de la décohérence.
La décohérence est le passage d'un fonctionnement quantique à un fonctionnement classique.
Lorsque l'on étudie la mécanique quantique, on nous montre que celle-ci se réduit aux lois de la mécanique
classique lorsqu'on la considère aux échelles macroscopiques.
La décohérence est le fait de passer de la description du système physique par une fonction d'onde unique
à celui d'un ensemble séparé de corpuscules.
La théorie physique qui s'occupe de décrire un ensemble important de corpuscules est la thermodynamique
statistique qui prend ses fondements dans la théorie quantique à travers les statistiques quantiques de
Böse-Einstein et de Fermi-Dirac.
Cette théorie constituée au 20ième siècle permet de retrouver à partir de considérations microscopiques
les résultats de la thermodynamique macroscopique du 19ième siècle.
La thermodynamique opère dans le monde classique de la décohérence tandis que la mécanique quantique
opère dans le monde quantique de la cohérence ondulatoire.
La décohérence est le passage du monde quantique au monde classique.
Maîtriser la décohérence est le challenge pour produire l'ordinateur quantique.
Alain Aspect dans sa conférence Des_objections_d_Einstein_aux_photons_jumeaux_une_nouvelle_révolution_quantique
admet à ce sujet (à 1H23mn) que si l'ordinateur quantique peut un jour devenir une réalité, il ne voit pas pourquoi le cerveau ne pourrait pas en être un.
Ainsi les deux réalités non-physiques: la conscience et la fonction d'onde pourraient n'en être en réalité qu'une seule.
évolution temporelle de l'état quantique.
L'état Phi
de tout système quantique non-relativiste est une solution de l'équation
de Schrödinger dépendante du temps:
_
H |Phi(t)> = i h/2*pi d |Phi(t)> / dt
_
Le sixième postulat est l'équation de Schrödinger
.
C'est l'équation dynamique de la mécanique quantique.
Elle signifie simplement que c'est l'opérateur « énergie totale » du système ou hamiltonien noté "H", qui est responsable de l'évolution du système dans le temps.
(Traditionnellement en mécanique quantique on fait porter un chapeau aux opérateurs pour les distinguer des autres objets mathématiques comme les valeurs propres.)
La forme de l'équation montre qu'en appliquant l'opérateur hamiltonien à la fonction d'onde du système, on obtient sa dérivée par rapport
au temps c'est-Ã -dire comment elle varie dans le temps.
(pour une variation delta t du temps donc "dt" on a une variation "d | Psy(t) >" de la fonction d'onde).
Donc si on applique l'opérateur hamiltonien (énergie) à la fonction d'onde on obtient son évolution dans le temps.
Cette équation n'est valable que dans le cadre non relativiste.
Dans le cadre relativiste l'équation valable est l'équation de Klein-Gordon.
L'opérateur hamiltonien H est composé de toutes les énergies qui interviennent sur le système.
Ces énergies sont de deux ordres: l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
L'énergie cinétique est celle contenue dans une masse en mouvement. Un caillou jeté dans une vitre la casse en vertu de l'énergie
cinétique qu'elle a acquise lorsqu'on lui a donné une certaine vitesse. Si il y a plusieurs vitres successives, plus la vitesse du caillou
sera grande et plus il traversera de vitres.
L'énergie potentielle est due aux champs de forces qui s'appliquent sur le système. Si on laisse tomber un caillou sur une vitre au sol
celui-ci va acquérir de la vitesse à cause de l'énergie potentielle de gravitation qu'il possède du fait d'être éloigné de la terre.
Un autre système où il y a transformation cyclique entre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique est le mouvement d'un satellite
autour d'une planète, par exemple la lune et la terre. La solution de la mécanique classique dans ce cas montre que la trajectoire
du satellite est une ellipse, c'est à dire qu'il y a un moment où la lune est au plus éloigné de la terre
(énergie potentielle maximum et énergie cinétique minimum, apogée) et un autre moment où la lune est au plus proche de la terre
(énergie potentielle minimum et énergie cinétique maximum, périgée).
Les systèmes que nous venons de décrire sont des systèmes classiques mais ils ont leur correspondance dans le domaine quantique.
Par exemple le modèle du pendule en mécanique quantique s'appelle l'oscillateur harmonique
et le modèle du satellite correspond au modèle de l'atome d'hydrogène: un électron satellite d'un proton.
En mécanique quantique l'énergie cinétique est un opérateur faisant intervenir la masse, et l'énergie potentielle
est bien sûr aussi représentée par un opérateur dont la forme dépendra des énergies en présence: potentiel électrique, magnétique, ...
La façon dont la masse intervient dans l'équation de Shroedinger, provient des travaux antérieur de Louis de Broglie
qui a établi la dualité onde-corpuscule: à chaque particule de matière on peut associer un onde dont la fréquence
est proportionnelle à la masse. Ceci à partir des deux formules de l'énergie:
E = m c² qui est la formule de l'énergie de la relativité restreinte d'Einstein : la masse est équivalente à l'énergie
E = h * nu qui est la relation de Planck-Einstein expliquant l'effet photo-électrique : l'énergie est proportionelle à la fréquence.
Il est important de comprendre que les énergies en présence exercent une contrainte sur le système c'est à dire sur la
fonction d'onde. Lorsqu'on a affaire à des systèmes oscillatoires comme l'oscillateur harmonique (pendule) ou l'atome d'hydrogène (le satellite),
la contrainte des énergies a pour effet de localiser la fonction d'onde dans une région de l'espace.
Par exemple un système classique soumis à aucune force (un météore perdu dans l'espace inter-sidéral où l'on peut négliger
les forces gravitationnelles des étoiles) se déplacera en ligne droite indéfiniment.
L'équivalent quantique est une onde plane qui se propage indéfiniment, comme par exemple un photon qui n'est soumis à aucune force (les photons sont des particules sans masse ni charge électrique d'aucune sorte et ne sont donc soumis à aucune force ou énergie).
Lorsque la fonction d'onde a une solution cyclique (fonction d'onde localisée) le temps n'a plus l'effet d'éloigner indéfiniment
les parties du système entre elles. L'électron restera localisé proche de son noyau qui est le proton dans le cas de l'atome d'hydrogène.
En même temps si l'onde quantique se propage cycliquement dans une région finie, elle se recouvre elle-même et donc elle interfère avec elle-même
soit constructivement soit destructivement.
Dans la résolution de l'équation de Shroedinger de tels systèmes, on voit que le temps n'intervient plus dans la forme de la fonction d'onde
et que c'est seulement l'espace (la position) qui détermine la forme de l'onde. On est dans le cas des ondes stationnaires que l'on a déjÃ
évoqué.
C'est à dire que les endroits où les interférences sont constructrices, sont toujours les mêmes ainsi que les endroits où elles sont destructrices.
L'onde stationnaire est un concept puissant qui permet de comprendre comment un phénomène statique peut provenir d'un phénomène dynamique.
C'est un des éléments qui permet d'intégrer la vision quantique: toute la stabilité de la matière dont nous faisons l'expérience provient
d'un enchevêtrement d'ondes se déplaçant en permanence mais dont la résultante par interférence est stable.
Pour l'atome, ceci donne des orbites bien définies dont les formes sont fournies par les fonctions solutions de l'équation de Shroedinger, les orbitales atomiques:
les nuages sont les nuages de probabilités de présence de l'électron. Plus le nuage est dense plus l'amplitude de probabilité de présence de l'électron est grande.
Représentation de l'amplitude de probabilité des ondes stationnaires (harmoniques) de l'oscillateur harmonique. On notera la ressemblance avec
les états de vibration (noeuds et ventres de vibration) d'une corde vibrante.
On remarque que dans le cas quantique (à gauche) l'amplitude de probabilité des fonctions d'ondes (en rouge) décroît progressivement lorsqu'on
s'éloigne du centre c'est à dire dans les régions où le potentiel devient plus fort (courbe parabolique en noir) mais n'est jamais totalement nulle.
Donc on a des chances lors d'une observation de trouver la particule dans une région éloignée où l'énergie potentielle est plus fort que l'énergie cinétique
alors que classiquement elle serait piégée dans la région où le potentiel est inférieur à son énergie cinétique.
C'est ce fait qui est à l'origine de l'effet_tunnel qui permet à une particule quantique de traverser
une barrière de potentiel dont l'énergie est supérieure à l'énergie de la particule parce que la fonction d'onde n'est pas nulle de l'autre côté
de la barrière permettant à la particule d'y être observée. On retrouve ici une conséquence de l'aspect non-local de la fonction d'onde.
C'est la contrainte que l'énergie impose à la fonction d'onde de rester localisée et donc d'interférer avec elle-même pour produire des ondes stationnaires
associées à des valeurs particulières de l'énergie (valeurs quantifiées donc) qui est à l'origine du concept de "quantification".
Finalement il faut parler de ce qui est à l'origine même de la théorie quantique: la constante_de_Planck
qui apparaît dans l'équation de Shroedinger.
Cette constante a été introduite par le physicien Max_Planck pour expliquer la valeur du rayonnement thermique
de la matière en fonction de la température. La loi observée que suit ce rayonnement oblige à considérer que l'énergie thermique n'est pas émise
de manière continue mais par paquet ou "quanta". C'est la première mise en évidence du caractère quantique de la matière.
En physique on définit l'action comme étant le produit de l'énergie par le temps. C'est assez intuitif: lorsqu'une énergie agit pendant un
certain temps elle génère une certaine action dont la valeur est proportionnelle à celle de l'énergie et à la longueur du temps pendant
laquelle elle agit.
La constante de Planck représente la plus petite action possible dans le monde physique. C'est une constante universelle de la physique
qui caractérise la nature quantique de la réalité.
La valeur de cette constante est extrêmement petite: 6,62607004 × 10-34 m2 kg / s mais elle est néanmoins non-nulle.
0,000000000000000000000000000000000662607004
Lorsque l'on combine cette constante avec d'autres constantes fondamentales comme la vitesse de la lumière ou la constante de gravitation universelle,
on déduit les quantités minimales des différentes unités de la physique : longueur de Planck, temps de Planck, etc... que l'on appelle les unités de Planck.
Ainsi le monde physique tel que décrit par la mécanique quantique possède une limite dans l'infiniment petit au delà de laquelle on ne peut plus parler
en terme de physique, c'est finalement un bord du monde physique.
S'il y a un bord, une limite, c'est une contrainte quantique naturelle pour la fonction d'onde donc pour la quantification (ce qui est en soi, on l'a vu, une force).
On peut aussi trouver l'origine la plus fondamentale de la quantification dans le fonctionnement de la conscience qui par nature n'est pas continue.
En effet si l'on considère l'observation par un sujet d'un objet qui est un point de vue dans la conscience, celui-ci n'est possible que par discrimination
de la conscience des différents points de vue possibles. Pour qu'ils soient identifiés les points de vue doivent être distincts, sinon il y aurait fusion de tous les points
de vue et il n'y aurait pas vraiment d'observation. La discrimination est la qualité de l'intellect qui est en ce sens une propriété fondamentale de la conscience.
On retrouve ainsi les éléments présents dans les postulats quantique de la mesure.
1.6.Expression poétique condensée des postulats
Ce qui suit est une tentative en un seul aphorisme de regrouper l'ensemble des postulats:
"Ce qui est possible s'accomplit, sous l'oeil de la conscience, seulement ce qui est possible s'accomplit."
La mécanique quantique est la plus grande révolution de notre ère moderne scientifique car elle détruit définitivement la position matérialiste,
ouvrant ainsi la voie à un développement de l'humanité où science et conscience seront à nouveau réunies.
La grande difficulté des scientifiques à accepter le message de la théorie quantique explique pourquoi si peu de personnes peuvent y avoir accès.
Ici vous trouverez un résumé de cette situation, analysée par Jean Staune et reporté par Bruno Lussato:
bruno_lussato_les_plus_grandes_désinformations_de_l_histoire_des_sciences
(blog où j'ai d'ailleurs laissé en 2009 un témoignage sur la conférence qu'Alain Aspect a donnée en 1982 à Toulouse alors qu'il faisait le tour de France des universités pour présenter
le résultat de ses travaux.)
Ce présent texte aurait pu être écrit et probablement bien mieux par un grand nombre de personnes averties qui font partie de l' "establishment" scientifique
mais leur répugnance à le faire m'a conduit d'une part à pouvoir réserver le nom de domaine quantique.org qui était curieusement disponible et d'autre part
à passer des dizaines d'heures à élaborer ce texte.
L'expérience décisive qui à permis de trancher le paradoxe
Einstein-Podolski-Rosen réalisé en 1982 par Alain Aspect chercheur et expérimentateur
au centre d'optique quantique d'Orsay était basée sur des photons.
Une description détaillée de la théorie sous-jacente se trouve dans
le livre de Bernard d'Espagnat " A la recherche du réel" .
Cette même année, j'étais à l'université et Alain Aspect est
venu présenter ses résultats à Toulouse, dans l'amphithéâtre Maxwell de l'Université
Paul Sabatier.
L'Amphi était composé de trois travées séparées par deux escaliers. La
travée centrale, la plus importante était remplie de physiciens et d'autres
scientifiques de tout le campus de Rangueil. Sur les autres travées, il n'y avait personne ! C'était
très curieux car ceux qui étaient derrière au fond de la salle voyaient forcément
moins bien que s'ils s'étaient rapprochés en venant sur les travées latérales. Cela
m'a amusé car je savais pourquoi il en était ainsi mais c'était quand
même impressionnant. Ce qui allait leur être annoncé serait comme un coup de massue sur la tête.
Après avoir présenté des résultats de mesures sans équivoque, il
a laissé l'assemblée sans voix (ou sans voie , l'amphi était rempli de professeurs et
de chercheurs) .
A la fin de la présentation, après un instant de silence assez long,
significatif lorsque la parole à été donné à une assemblée de scientifique, un
chercheur s'est levé (mon prof de relativité à l'époque Alain Gautier) et à posé
cette question:
" Et vous trouvez que c'est facile de vivre avec cela maintenant ? " .
Aspect, sur la défensive répondit qu'il n'avait pas dit ça, qu'il avait fait
une expérience et que le résultat était celui-là , mais qu'il se gardait d'y
donner une interprétation quelconque.
J'ai appris des années plus tard par une personne l'ayant côtoyé qu'il
était pro-einsteinien et qu'il avait escompté que la mécanique quantique
serait mise en défaut.
J'étais sur une travée latérale au troisième rang, tout seul et j'étais
amusé car je ne comprenais vraiment pas pourquoi cela leur posait un problème, où
plutôt je ne le comprenais que trop bien.
Lorsque l'expérience en était à ses prémisses mais que l'issue n'était
plus qu'une question de temps, la polémique est devenue très forte, sulfureuse même.
J'avais vu un article dans la revue de vulgarisation Science & Vie
qui présentait une contre-expérience à celle d'Aspect menée par un physicien italien
qui disait que si l'expérience d'Aspect confirmerai la mécanique quantique alors
il arrêterait la physique car cela n'aurait plus aucun sens pour lui. J'ignore s'il a
tenu parole.
Lorsque la communauté scientifique des physiciens était en état de choc,
on pouvait se demander ce qu'il allait se passer.
Il a fallu du temps pour que l'information soit digérée, on peut voir en
2020 que la situation à passablement évolué, il suffit de regarder
cette conférence donnée à l'école polytechnique par Hervé Zwirn, directeur de
recherche au CNRS
_x_sciences_de_l_homme_et_de_la_société_x_shs_mécanique_quantique_le_monde_existe_t_il
Cette expérience à eu (ou aurait dû avoir pour la majorité) le même genre
d'effet dans la communauté des physiciens que la découverte des
ondes hertziennes (ondes électromagnétiques) qui ont donné au concept abstrait du
champ électromagnétique une réalité beaucoup plus vivante. La découverte de la
non-séparabilité et son observation au niveau physique donne vie au concept de la
réalité indépendante, c'est à dire d'une réalité indépendante de l'espace et du temps, c'est Ã
dire de toutes contingences spatio-temporelles, c'est à dire de
toutes contingences physiques.
Une première conclusion que l'on peut apporter au premier postulat de
la mécanique quantique est que:
La réalité d'un système quantique (et in fine, tout système est quantique! )
est sous-tendu par un espace abstrait de possibilités inobservable en soi (
non physique et indépendant de toutes contingences spatio-temporelles) mais
néanmoins réel, puisque c'est à partir de ce niveau de fonctionnement abstrait qu'émerge
la réalité concrète (observée) .
Pour résumer cela en un mot: il s'agit d'omniprésence et d'omniscience
puisque cela contient toute l'information sur le système physique de manière
non-locale.
De plus, pour être complet, cela est en lien avec l'observateur qui ne
peut évidemment être physique. Les postulats n'incluent bien évidemment pas l'observateur
dans le système physique mais déclare son existence nécessaire pour
qu'une observation ait lieu ou qu'un résultat physique soit produit.
L'évidence apparaît alors que l'observateur et la
réalité indépendante entretiennent un rapport étroit: ils sont tous deux non physiques
et interagissent en termes d'information, de connaissance, de perception. Cela
rejoint parfaitement les conceptions du "rêve du monde" des shamans.
Le film Matrix peut être à ce sujet, considéré comme une allégorie de
la réalité quantique. La différence avec la réalité est que la
simulation holographique du monde n'est pas fabriqué par des ordinateurs matériels mais par
un ordinateur cosmique non matériel qui s'identifie à la conscience dans sa
conception la plus étendue.
On peut donner et on a donné à cette conscience universelle tous les
noms que l'on veut mais ceux-ci n'épuiseront jamais la puissance infinie de
cette Conscience.
On parle alors d'état équiprobable.
Dans notre cas on a donc:
Si on applique cet opérateur au ket | Psy > on a :
Mais si on n'observe pas cette propriété du système alors le système reste dans cet état de superposition
des fonctions d'ondes boulanger. On dit que l'état est dégénéré.
Dans ce cinquième postulat nous avons vu que la mesure elle-même transformait le système.
Conformément au cinquième postulat, lors d'une mesure la fonction d'onde collapse vers un sous-espace propre de manière instantanée affectant
en même temps l'état de toutes les particules composant le système.
Cette expérimentation a prouvé de manière indiscutable que la fonction d'onde ne dépendait pas de l'espace physique dans lequel nous vivons:
son évolution lors du collapse dû à l'observation s'effectue en tout point de l'espace en même temps.
L'expérience d'Aspect a été maintes fois reproduite dans des conditions de plus en plus sophistiqués pour pousser la mécanique
quantique dans ses retranchements mais celle-ci n'a jamais cédé !
Dans une telle théorie la fonction d'onde serait | Psy > et non plus | Psy(t) > .
Le temps serait une observable T au même titre que la position P.
La particularité de cette expérience de pensée complètement irréalisable telle que présentée avec un "vrai chat" est de
faire réfléchir à ce qu'est l'observateur en mécanique quantique.
| détecteur, particule > = | état particule détectée > ¤ | particule présente >
+ | état particule non-détectée > ¤ | particule absente >
+ | état particule non-détectée > ¤ | particule présente >
+ | état particule détectée > ¤ | particule absente >
Si rien de matériel n'opère la mesure, il ne reste plus que quelque chose d'immatériel qui le fait et cela Wigner l'identifie
à la conscience qui identifie finalement ce qu'est l'observateur.
bernard_d_espagnat_physique_quantique_et_réalité_la_réalité_c_est_quoi ;https://www.youtube.com/watch?v=Jd8FiWJ5v8M;
Cette Maya étant fabriquée par les inter-relations infinies entre trois éléments : richi, chandas et devatta qui sont le sujet, l'objet et leur
mise en relation, la connaissance (spirituelle: de l'esprit) ou la perception (matérielle: de la matière).
Les triades suivantes sont équivalentes:
veda philosophie physique quantique
rishi sujet observateur connaisseur observateur
devatta perception (relation sujet/objet) observation connaissance observable chandas objet observé connu résultat de la mesure: valeur propre de l'observable
Cette position dit qu'entre deux mesures il n'y a pas d'objet et que le seul objet qui existe est "l'objet observé".
Le terme classique correspond à ce que l'humanité perçoit dans son ensemble de la même façon. Mais cette position rentre en conflit avec
la réalité quantique qui est donc perçue comme totalement paradoxale.
C'est à dire que lorsque le système a décohéré, il est descriptible classiquement car l'aspect quantique
s'est évanoui.
Lorsque la fonction d'onde d'un ensemble de particules "décohère" dans le collapse de la mesure
l'aspect ondulatoire de la mécanique quantique disparaît et il ne reste plus que l'aspect corpusculaire.
Il est clair que c'est l'énergie qui fait évoluer les choses. L'énergie et le temps sont des grandeurs intrinsèquement liées.
On dit qu'elles forment un couple de variables conjuguées.
cf Olivier_castera_free_Equation_de_Schrodinger_pdf
Plus le temps passe plus l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique et lorsque le caillou arrive au sol, il casse la vitre
en vertu de l'énergie cinétique qu'il aura acquis au détriment de son énergie potentielle qu'il aura perdu. Si on le pousse dans un puits
il continuera le même processus jusqu'à épuiser totalement son énergie potentielle si c'est possible.
Si on considère le mouvement d'un pendule (un caillou accroché à un support par une ficelle) celui-ci oscille, c'est à dire qu'à partir
de la position de départ (à un certain angle de la verticale) où le caillou est lâché, celui-ci va accélérer jusqu'à ce que la ficelle soit à la verticale, puis va ralentir
jusqu'à s'arrêter de l'autre côté dans une position symétrique par rapport à la position de départ et à la verticale.
Le pendule transforme son énergie potentielle en énergie cinétique puis son énergie cinétique en énergie potentielle et cela cycliquement.
Si le système ne subit aucune autre force le mouvement ne s'arrête pas. En pratique il y a toujours des forces de frottement qui dissipent
l'énergie en chaleur jusqu'à épuisement. Mais ce dernier point n'est vrai qu'en mécanique classique parce qu'en mécanique quantique
il n'y a pas de frottement !
Ainsi on voit que dans l'équation de Shroedinger est intégré un résultat de la relativité restreinte d'Einstein.
La constante de Planck définit la pixellisation de l'Univers.
poème correspondance quantique lien vers les postulats
Ce qui est la fonction d'onde ou vecteur d'état ou "ket" (de bracket , crochet en français) Premier postulat
possible la structure probabiliste de la fonction d'onde, les différentes possibilités états propres du ket Troisième postulat s'accomplit la dynamique de l'Hamiltonien opérateur énergie totale du système responsable de l'évolution. Deuxième postulat sous l'oeil de la conscience les postulats de la mesure c'est à dire l'intervention nécessaire de l'observateur Quatrième postulat seulement ce qui est possible s'accomplit seules les valeurs propres de l'observable peuvent être obtenues et l'état du système est alors l'état propre correspondant. Cinquième postulat Ce qui est possible s'accomplit l'équation de Schrödinger, l'équation de la dynamique quantique. Sixième postulat